Limite finie et convergence intuitive

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• _n + u_n = L : les termes u_n deviennent aussi proches de L que l'on veut, pour n assez grand. • Une suite qui a une limite finie est dite convergente ; cette limite est unique. • Suites de référence : 1/n, 1/n^2 et 1n tendent vers 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental On dit qu'une suite (u_n) a pour **limite un nombre réel L** lorsque n tend vers + (noté _n + u_n = L) si les termes u_n deviennent aussi proches de L que l'on veut dès que n est suffisamment grand. Une telle suite est dite **convergente** vers L. **Suites de référence tendant vers 0** : _n + 1/n = 0, _n + 1/n^2 = 0, _n + 1n = 0 ### 2. Méthode : conjecturer puis justifier une limite - **Tableau de valeurs** : on calcule u_10, u_100, u_1\,000 (calculatrice, tableur) et on observe si les termes se stabilisent près d'un nombre. - **Graphique** : les points (n ; u_n) se rapprochent d'une droite horizontale y = L. - **Écriture adaptée** : on fait apparaître des quantités qui deviennent aussi proches de 0 que l'on veut, comme 1/n ou 1/n^2. Par exemple, u_n = 2n + 1/n = 2 + 1/n se rapproche de 2. ### 3. Attention Une suite peut converger en restant au-dessus de sa limite (2 + 1/n > 2), en dessous, ou en oscillant autour d'elle : (-1)^n/n change de signe à chaque rang mais se rapproche de 0. Toutes les suites n'ont pas de limite finie : (-1)^n n'en a aucune.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques