Suites définies par récurrence

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Une suite récurrente est donnée par un premier terme et une règle de passage u_n+1 = f(u_n). • Les termes se calculent de proche en proche : u_1 = f(u_0), puis u_2 = f(u_1), etc. • Pour un terme lointain, on programme le calcul (calculatrice, tableur, Python).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une suite est définie par **récurrence** lorsqu'on donne son premier terme (ex : u_0) et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s) : cases u_0 = c \\ u_n+1 = f(u_n) cases Pour calculer un terme lointain (ex : u_10), il faut obligatoirement calculer de proche en proche tous les termes intermédiaires : u_1, puis u_2, puis u_3, etc. ### 2. Méthode : calculer de proche en proche - On part du premier terme donné et on applique la règle une fois par rang : u_1 = f(u_0), puis u_2 = f(u_1), puis u_3 = f(u_2)… - On écrit chaque calcul en mettant le terme précédent entre parenthèses : pour u_0 = 3 et u_n+1 = -2u_n + 1, on a u_1 = -2 3 + 1 = -5, puis u_2 = -2 (-5) + 1 = 11. - Pour un terme lointain (u_20, u_50), on fait travailler une machine : mode « suite » de la calculatrice, formule recopiée vers le bas dans un tableur, ou boucle en Python (« pour k allant de 1 à 20, u prend la valeur -2u + 1 »). - **Récurrence ou formule explicite ?** Une même suite peut avoir les deux écritures : u_0 = 1 et u_n+1 = u_n + 2 définissent les nombres impairs, u_n = 2n + 1. ### 3. Attention La règle de passage seule ne suffit pas : sans premier terme, la suite n'est pas déterminée. Avec u_n+1 = 2u_n, le choix u_0 = 1 donne 1 ; 2 ; 4 ; 8, alors que u_0 = 3 donne 3 ; 6 ; 12 ; 24.

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