Représentation graphique et modélisation discrète

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• La représentation graphique d'une suite est le nuage de points isolés M_n(n ; u_n). • Points alignés : la différence u_n+1 - u_n est constante, la suite est arithmétique. • Modéliser : préciser l'étape de temps, le premier terme et la règle de passage.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Dans un repère du plan, la **représentation graphique** d'une suite (u_n) est l'ensemble des points isolés de coordonnées (n ; u_n) pour n N. - Il s'agit d'un nuage de points disjoints (on ne relie JAMAIS les points par une courbe continue car n ne prend que des valeurs entières). - **Modélisation discrète** : une suite est le modèle idéal pour décrire des évolutions se produisant par étapes temporelles discrètes (années, mois, générations, tours d'algorithme). ### 2. Méthode : représenter, lire, modéliser - **Représenter** : on calcule les premiers termes, on place les points (0 ; u_0), (1 ; u_1), (2 ; u_2)… sans les relier. À la calculatrice, on choisit le mode « suite » et un affichage en points. - **Lire le graphique** : des points qui montent de gauche à droite suggèrent une suite croissante ; des points alignés traduisent un écart u_n+1 - u_n constant, donc une suite arithmétique. - **Modéliser** : on fixe l'étape de temps (année, mois, génération), on note u_n la grandeur après n étapes, puis on traduit l'énoncé par une relation entre u_n+1 et u_n (ou par une formule u_n = f(n)), sans oublier le premier terme. ### 3. Mini-exemple Un abonnement coûte 30\ € par mois. En notant c_n le coût total après n mois, c_0 = 0 et c_n+1 = c_n + 30, donc c_n = 30n. Les points (n ; 30n) sont alignés sur la droite y = 30x, mais seuls les points d'abscisse entière ont un sens : on ne paie pas « 1,5 mois ».

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