Formule explicite du terme général

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Départ en u_0 : u_n = u_0 + nr ; départ en u_p : u_n = u_p + (n - p)r. • Raison à partir de deux termes : r = u_k - u_p/k - p. • Le terme général est une expression affine de n : croissance linéaire.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit (u_n)_n N une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r. - Pour tout entier naturel n : u_n = u_0 + n r - Plus généralement, si le premier terme est u_p (p n) : u_n = u_p + (n - p) r Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme de la suite sans connaître les termes intermédiaires. ### 2. Méthode - **Écrire u_n** : on repère d'abord le rang du premier terme. Départ en u_0 : u_n = u_0 + nr ; départ en u_1 : u_n = u_1 + (n-1)r. - **Retrouver la raison à partir de deux termes** : u_k - u_p = (k - p)r, donc r = u_k - u_p/k - p. Avec u_2 = 7 et u_6 = 19 : r = 19 - 7/6 - 2 = 3, puis u_0 = u_2 - 2r = 1. - **Chercher un rang** : on résout u_0 + nr = A (ou une inéquation). Si l'équation n'a pas de solution entière, le nombre A n'est pas un terme de la suite. ### 3. Interprétation graphique Les points (n ; u_n) sont sur la droite d'équation y = rx + u_0 : la raison est le coefficient directeur et u_0 l'ordonnée à l'origine. Une suite arithmétique modélise une **croissance linéaire** (ou une décroissance linéaire si r < 0).

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques