Formule explicite du terme général — Cas particulier

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Départ en u_0 : u_n = u_0 q^n ; départ en u_1 : u_n = u_1 q^n-1. • Entre deux rangs quelconques : u_n = u_p q^n-p. • Raison à partir de deux termes : q^k-p = u_k/u_p.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit (u_n)_n N une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q. - Pour tout entier naturel n : u_n = u_0 q^n - Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p (p n) : u_n = u_p q^n - p Cette formule permet de calculer directement le terme d'indice n sans calculer tous les termes précédents. ### 2. Méthode - **Écrire u_n** : départ en u_0 : u_n = u_0 q^n ; départ en u_1 : u_n = u_1 q^n-1. - **Retrouver la raison à partir de deux termes** : u_k/u_p = q^k-p. Avec u_1 = 6 et u_3 = 54 : q^2 = 9, donc q = 3 ou q = -3 ; il faut une information de plus (par exemple « termes positifs ») pour choisir q = 3. - **Calculer un terme lointain** : u_10 = u_0 q^10 se calcule directement, sans les termes intermédiaires. ### 3. Interprétation Avec q > 0, une suite géométrique modélise une **croissance exponentielle** si q > 1, une décroissance exponentielle si 0 < q < 1 : à chaque étape on **multiplie** par le même nombre, alors qu'une suite arithmétique **ajoute** le même nombre. Ainsi 100 2^10 = 102\,400, alors que 100 + 10 2 = 120.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques