Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Nombre de termes d'une somme : de l'indice p à l'indice n, il y a exactement (n - p + 1) termes. • Somme arithmétique : S = Nombre de termes Premier + Dernier2. • Somme géométrique : S = Premier terme 1 - q^Nombre de termes1 - q pour q 1.

Le cours

Cette synthèse méthodologique détaille les 3 stratégies pour déterminer le sens de variation d'une suite et le tableau comparatif complet suites arithmétiques vs géométriques. 🧭 Les 3 méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite Méthode 1 (Universelle) : Étudier le signe de u_n+1 - u_n Si u_n+1 - u_n 0 pour tout n, la suite est croissante. Si u_n+1 - u_n 0 pour tout n, la suite est décroissante. Méthode 2 (Termes strictement positifs) : Comparer u_n+1u_n à 1 Si u_n > 0 et u_n+1u_n 1, la suite est croissante. Si u_n > 0 et u_n+1u_n 1, la suite est décroissante. Méthode 3 (Forme explicite u_n = f(n)) : Variations de la fonction associée f Si f est croissante sur [0 ; +[, alors la suite (u_n) est croissante. Tableau de synthèse : Arithmétique vs Géométrique Propriété Suite arithmétique de raison r Suite géométrique de raison q Récurrence u_n+1 = u_n + r u_n+1 = q u_n Terme général u_n = u_0 + n r = u_p + (n-p)r u_n = u_0 q^n = u_p q^n-p Somme des termes Nbre 1er + Dernier2 1er 1 - q^Nbre1 - q (q 1) Somme de référence _k=1^n k = n(n+1)/2 _k=0^n q^k = 1 - q^n+11 - q Comportement à l'infini (approche intuitive) Suite arithmétique : si r > 0, elle tend vers + ; si r Suite géométrique u_n = u_0 q^n avec u_0 > 0 : si q > 1, elle tend vers + ; si -1 Pour conjecturer une limite, on calcule u_10, u_100, u_1\,000 à la calculatrice ou au tableur, puis on justifie par une écriture adaptée ou une recherche de seuil. Méthode : suite du type u_n+1 = a u_n + b Ces suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques (si a 1 et b 0). On cherche le nombre c tel que c = ac + b, puis on montre que v_n = u_n - c vérifie v_n+1 = a v_n : (v_n) est géométrique de raison a, ce qui donne v_n, puis u_n = v_n + c. L'énoncé indique en général la suite auxiliaire à utiliser.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques