Sens de variation d'une suite arithmétique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Suite arithmétique de raison r : u_n+1 - u_n = r pour tout n. • r > 0 : strictement croissante ; r < 0 : strictement décroissante ; r = 0 : constante. • Pour u_n = an + b, la raison est a : son signe donne le sens de variation.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r. Pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n = r. - Si r > 0, alors u_n+1 - u_n > 0 : la suite (u_n) est **strictement croissante**. - Si r < 0, alors u_n+1 - u_n < 0 : la suite (u_n) est **strictement décroissante**. - Si r = 0, alors u_n+1 = u_n : la suite (u_n) est **constante**. Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de sa raison r. ### 2. Méthode selon la façon dont la suite est donnée - **Par récurrence** u_n+1 = u_n + r : on lit directement le signe de r. - **Par une formule** u_n = an + b : c'est une suite arithmétique de raison a (en effet u_n+1 - u_n = a), on étudie le signe de a. - **Avec un paramètre** : on exprime la raison en fonction du paramètre et on cherche pour quelles valeurs elle est positive, négative ou nulle. ### 3. Lien avec les fonctions affines La suite u_n = u_0 + nr a le même sens de variation que la fonction affine x rx + u_0 sur [0 ; +[. Une suite arithmétique de raison non nulle est donc strictement monotone dès le premier terme : elle ne change jamais de sens. Mini-exemple : u_n = 12 - 0,5n a pour raison -0,5 < 0, elle est strictement décroissante (12 ; 11,5 ; 11…).

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques