Suites définies par formule explicite

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Suite explicite : u_n = f(n), chaque terme se calcule directement à partir de son rang. • u_n+1 = f(n+1) : on remplace n par (n+1), avec des parenthèses. • Si f est croissante sur [0 ; +[, la suite (u_n) définie par u_n = f(n) est croissante.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une suite (u_n) est définie de façon **explicite** lorsque chaque terme u_n est exprimé directement en fonction de l'entier n : u_n = f(n) Avantage : On peut calculer n'importe quel terme directement (ex : u_1000) sans avoir besoin de calculer les termes précédents. ### 2. Méthode : calculer, décaler, chercher un rang - **Calculer un terme** : on remplace n par sa valeur en respectant les priorités (puissances avant produits). Pour u_n = n/n+1 : u_9 = 9/10. - **Exprimer u_n+1 ou u_2n** : on remplace chaque n par (n+1) ou par (2n), parenthèses comprises, puis on développe et on réduit. - **Chercher un rang** : pour trouver les n tels que u_n > A, on résout l'inéquation f(n) > A dans N, on garde le plus petit entier qui convient et on le contrôle en calculant u_n pour ce rang et le précédent. - **Lien avec les fonctions** : si u_n = f(n) et si f est croissante sur [0 ; +[, alors la suite (u_n) est croissante (la réciproque est fausse). ### 3. Mini-exemple Pour u_n = 2^n - n : u_0 = 1, u_1 = 1, u_2 = 2, et u_10 = 1\,024 - 10 = 1\,014 se calcule directement, sans passer par u_9.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques