Taux de variation d'une fonction

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Taux de variation de f entre a et b (a b) : f(b) - f(a)/b - a. • Avec b = a + h (h 0) : (h) = f(a + h) - f(a)/h. • C'est le coefficient directeur de la sécante passant par A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)). • Pour une fonction affine x mx + p, il vaut toujours m.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient a, b I avec a b. Le **taux de variation** de f entre a et b est le quotient : (a, b) = f(b) - f(a)/b - a En posant b = a + h avec h 0, le taux de variation entre a et a + h s'écrit : (h) = f(a + h) - f(a)/h Ce quotient mesure la vitesse moyenne d'évolution de f entre les deux points. ### 2. Méthode de calcul du taux entre a et a + h 1. Calculer f(a), puis f(a + h) en développant (identités remarquables). 2. Former la différence f(a + h) - f(a) : les termes sans h doivent disparaître. 3. Factoriser le numérateur par h et simplifier, ce qui est permis car h 0. ### 3. Exemple rapide et interprétation Pour f(x) = 3x^2 entre 1 et 1 + h : f(1 + h) - f(1) = 3(1 + 2h + h^2) - 3 = 6h + 3h^2, donc (h) = 6 + 3h. Entre 1 et 2 (h = 1), le taux vaut 9 : en moyenne, f augmente de 9 unités par unité de x sur [1 ; 2] (en effet f(2) - f(1) = 12 - 3 = 9). Un taux positif signifie que f(b) > f(a) lorsque b > a ; un taux négatif, que f(b) < f(a). Pour une fonction affine x mx + p, le taux vaut toujours m ; pour les autres fonctions, il dépend de l'intervalle choisi.

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