Lien entre signe de la dérivée et variations

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Sur un intervalle I : f' 0 sur I f croissante sur I ; f' 0 sur I f décroissante sur I. • Si f' > 0 sur I, sauf en des points isolés où elle s'annule, f est strictement croissante sur I ; de même avec f' < 0 et « strictement décroissante ». • f' = 0 sur tout l'intervalle I f constante sur I.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. - Si pour tout x I, f'(x) > 0 (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule), alors f est **strictement croissante** sur I. - Si pour tout x I, f'(x) 3. Donc f est décroissante sur ]- ; 3] et croissante sur [3 ; +[, avec un minimum f(3) = -8. Le théorème s'applique **sur un intervalle** : la fonction inverse a une dérivée négative partout où elle est définie ; elle est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[, mais pas sur R^*, puisque -1 < 1 et 1/-1 < 1/1.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et taux de variation de Seconde
• Sens de variation et lecture graphique d'une courbe de Seconde
• Équation réduite d'une droite et coefficient directeur de Seconde
• Taux de variation d'une fonction
• Nombre dérivé en un point
• Interprétation géométrique et pente de la sécante
• Équation de la tangente
• Lecture graphique du nombre dérivé
• Approximation affine locale
• Dérivée des fonctions de référence
• Dérivée d'une somme et produit par un réel
• Dérivée d'un produit uv
• Dérivée d'un quotient u sur v
• Dérivée de la composée f(ax+b)
• Lien entre signe de la dérivée et variations
• Recherche des extremums locaux
• Tableau de variations complet
• Problèmes d'optimisation
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation et étude de fonctions