Dérivée des fonctions de référence

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (k)' = 0, (x)' = 1 et (x^n)' = n x^n-1 pour n entier, n 1. • (1/x)' = -1/x^2 sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[. • (x)' = 12x sur ]0 ; +[ : x n'est pas dérivable en 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout x I associe le nombre dérivé f'(x) est la **fonction dérivée** de f. **Dérivées usuelles à connaître par cœur** : - Constante : (k)' = 0 sur R - Identité : (x)' = 1 sur R - Puissance : (x^n)' = n x^n-1 pour n N^* sur R (ex : (x^2)' = 2x, (x^3)' = 3x^2) - Inverse : (1/x)' = -1/x^2 sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[ - Racine carrée : (x)' = 12x sur ]0 ; +[ ### 2. Méthode : reconnaître la forme avant de dériver 1. Réécrire la fonction sous une forme de référence : x^2 x^3 = x^5, x^4/x = x^3 pour x 0. 2. Appliquer la formule correspondante, sur l'intervalle où elle est valable. 3. Évaluer si besoin en un point pour obtenir f'(a). ### 3. Exemple rapide et intervalles Pour f(x) = x^4 : f'(x) = 4x^3, donc f'(-1) = -4 et f'(2) = 32. Pour g(x) = x : g'(4) = 124 = 1/4. Les intervalles comptent : x 1/x est dérivable sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[ (elle n'est pas définie en 0) ; x x est définie sur [0 ; +[ mais dérivable seulement sur ]0 ; +[.

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