Approximation affine locale

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Pour h proche de 0 : f(a + h) f(a) + h f'(a). • Autrement dit, pour x proche de a : f(x) f'(a)(x - a) + f(a) ; la courbe est assimilée à sa tangente. • Cas utiles en a = 1 : (1 + h)^n 1 + nh et 1/1 + h 1 - h.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Au voisinage immédiat de a (c'est-à-dire pour h proche de 0), la courbe représentative de f est très proche de sa tangente. On en déduit l'**approximation affine** de f(a+h) : f(a+h) f(a) + h f'(a) ou encore, en posant x = a+h (avec x proche de a) : f(x) f(a) + f'(a)(x - a) Cette relation permet d'estimer rapidement la valeur d'une fonction sans calculer de puissance ou de racine complexe. ### 2. Méthode pour estimer une valeur 1. Écrire le nombre à estimer sous la forme f(a + h), avec a « simple » (où f(a) et f'(a) se calculent de tête) et h petit. 2. Calculer f(a) et f'(a). 3. Appliquer f(a + h) f(a) + h f'(a). ### 3. Exemple rapide et qualité de l'approximation Pour 11,02 : f(x) = 1/x, a = 1, h = 0,02, f(1) = 1 et f'(1) = -1, donc 11,02 1 - 0,02 = 0,98 (valeur exacte : 0,98039). L'erreur est d'autant plus petite que h est proche de 0 : pour (1 + h)^2 1 + 2h, l'erreur vaut exactement h^2, soit 0,0001 pour h = 0,01 mais 0,25 pour h = 0,5. Géométriquement, on remplace la courbe par sa tangente au point d'abscisse a.

Dans ce chapitre