Nombre dérivé en un point

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• f est dérivable en a si f(a + h) - f(a)/h tend vers un nombre réel quand h tend vers 0. • Ce nombre est le nombre dérivé : f'(a) = _h 0 f(a + h) - f(a)/h. • f'(a) mesure la vitesse instantanée de variation de f en a. • x |x| et x x ne sont pas dérivables en 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. On dit que f est **dérivable en a** si le taux de variation f(a+h) - f(a)/h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est appelée **nombre dérivé** de f en a et se note f'(a) : f'(a) = _h 0 f(a+h) - f(a)/h Si la limite est infinie ou n'existe pas, la fonction n'est pas dérivable en a. ### 2. Méthode : calculer f'(a) par la définition 1. Écrire le taux de variation (h) = f(a + h) - f(a)/h pour h 0. 2. Simplifier jusqu'à faire disparaître le h du dénominateur. 3. Chercher la limite quand h tend vers 0 : si c'est un nombre réel , alors f est dérivable en a et f'(a) = . ### 3. Exemple rapide et interprétation Pour f(x) = 5x - x^2 en a = 1 : f(1 + h) - f(1) = 5 + 5h - (1 + 2h + h^2) - 4 = 3h - h^2, donc (h) = 3 - h, qui tend vers 3 : f'(1) = 3. Le nombre dérivé est une **vitesse instantanée** : si d(t) est une distance en mètres et t un temps en secondes, d'(t_0) est la vitesse en m/s à l'instant t_0. Deux cas de non-dérivabilité sont à connaître : x |x| en 0 (le taux vaut 1 ou -1 selon le signe de h) et x x en 0 (le taux hh = 1h devient aussi grand qu'on veut).

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