Problèmes d'optimisation

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Choisir la variable x et son intervalle de validité, puis exprimer la grandeur à optimiser par une fonction f(x). • Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations de f pour justifier l'extremum. • Répondre à la question posée (valeur de x ou valeur optimale f(x)), avec l'unité.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un **problème d'optimisation** consiste à déterminer la valeur d'une variable qui rend une grandeur maximale (ex : volume, aire, bénéfice) ou minimale (ex : coût, distance, perte de matière). **Méthode de résolution** : 1. Identifier la grandeur à optimiser et choisir la variable x appropriée avec son intervalle de validité I. 2. Exprimer cette grandeur sous la forme d'une fonction f(x). 3. Calculer la dérivée f'(x) et résoudre f'(x) = 0. 4. Dresser le tableau de variations pour prouver que le zéro correspond bien au maximum ou minimum recherché. 5. Conclure en répondant précisément à la question posée avec les unités. ### 2. Points de vigilance - L'intervalle de la variable vient de la situation : une longueur est positive, une découpe ne peut pas dépasser la moitié du côté, une production reste dans les limites de l'usine. - Une solution de f'(x) = 0 en dehors de cet intervalle est à rejeter. - Sur un intervalle fermé, comparer la valeur trouvée aux valeurs aux bornes. ### 3. Exemple rapide Un enclos rectangulaire est adossé à un mur ; on dispose de 40 m de grillage pour les trois autres côtés. Avec x la longueur des côtés perpendiculaires au mur, l'aire vaut A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2 pour x ]0 ; 20[. A'(x) = 40 - 4x s'annule en x = 10 en passant de + à - : l'aire maximale vaut A(10) = 200\ m^2, avec un côté parallèle au mur de 20 m.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et taux de variation de Seconde
• Sens de variation et lecture graphique d'une courbe de Seconde
• Équation réduite d'une droite et coefficient directeur de Seconde
• Taux de variation d'une fonction
• Nombre dérivé en un point
• Interprétation géométrique et pente de la sécante
• Équation de la tangente
• Lecture graphique du nombre dérivé
• Approximation affine locale
• Dérivée des fonctions de référence
• Dérivée d'une somme et produit par un réel
• Dérivée d'un produit uv
• Dérivée d'un quotient u sur v
• Dérivée de la composée f(ax+b)
• Lien entre signe de la dérivée et variations
• Recherche des extremums locaux
• Tableau de variations complet
• Problèmes d'optimisation
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation et étude de fonctions