Dérivée d'un quotient u sur v

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (u/v)' = u'v - uv'/v^2 là où v ne s'annule pas. • (1/v)' = -v'/v^2. • v^2 > 0 : le signe de la dérivée est celui du numérateur u'v - uv'.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, avec v(x) 0 pour tout x I. - **Inverse d'une fonction** : (1#d97706v)' = -#d97706v'#d97706v^2 - **Quotient de deux fonctions** : (#2563ebu#d97706v)' = #2563ebu'#d97706v - #2563ebu#d97706v'#d97706v^2 Le dénominateur de la dérivée est toujours un carré v^2, donc il est strictement positif sur le domaine. ### 2. Méthode et étude du signe 1. Repérer u (numérateur) et v (dénominateur) ; vérifier que v ne s'annule pas sur l'intervalle. 2. Calculer u' et v', puis écrire u'v - uv'/v^2 en gardant les parenthèses. 3. Développer et réduire **le numérateur seulement** ; laisser v^2 sous forme de carré. 4. Le signe de la dérivée est celui du numérateur, puisque v^2 > 0. ### 3. Exemple rapide f(x) = x/x^2 + 1 sur R : f'(x) = 1 (x^2 + 1) - x 2x/(x^2 + 1)^2 = 1 - x^2/(x^2 + 1)^2, positive sur ]-1 ; 1[ et négative en dehors de [-1 ; 1]. Numérateur constant : pour 3/x - 2, on utilise (1/v)' multipliée par 3 ; la dérivée vaut -3/(x - 2)^2 sur chacun des intervalles ]- ; 2[ et ]2 ; +[.

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