Recherche des extremums locaux

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Si f, dérivable sur un intervalle ouvert, admet un extremum local en x_0, alors f'(x_0) = 0. • Si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, f(x_0) est un extremum local : maximum si f' passe de + à -, minimum si f' passe de - à +. • La réciproque du premier point est fausse : f'(x_0) = 0 ne suffit pas.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x_0 I. - **Condition nécessaire** : Si f admet un extremum local (maximum ou minimum) en x_0, alors f'(x_0) = 0 (la tangente en ce point est horizontale). - **Condition suffisante** : Si f'(x_0) = 0 et si f'(x) **change de signe** en x_0, alors f admet un extremum local en x_0 : - f' passe de + à - : f(x_0) est un **maximum local**. - f' passe de - à + : f(x_0) est un **minimum local**. ### 2. Méthode 1. Calculer f'(x) et résoudre f'(x) = 0 : on obtient les seules abscisses possibles d'un extremum local à l'intérieur de l'intervalle. 2. Étudier le signe de f' de part et d'autre de chaque solution. 3. Conclure sur la nature (maximum ou minimum) et calculer la valeur f(x_0). 4. Sur un intervalle fermé [a ; b], comparer aussi f(a) et f(b) : le plus grand ou le plus petit extremum peut être atteint à une borne, où f' ne s'annule pas forcément. ### 3. Exemple rapide f(x) = -x^2 + 4x : f'(x) = -2x + 4 s'annule en 2 en passant de + à -, donc f(2) = 4 est un maximum local (c'est même le maximum de f sur R). Vocabulaire : le **maximum** est la valeur 4 ; il est **atteint en** x = 2.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et taux de variation de Seconde
• Sens de variation et lecture graphique d'une courbe de Seconde
• Équation réduite d'une droite et coefficient directeur de Seconde
• Taux de variation d'une fonction
• Nombre dérivé en un point
• Interprétation géométrique et pente de la sécante
• Équation de la tangente
• Lecture graphique du nombre dérivé
• Approximation affine locale
• Dérivée des fonctions de référence
• Dérivée d'une somme et produit par un réel
• Dérivée d'un produit uv
• Dérivée d'un quotient u sur v
• Dérivée de la composée f(ax+b)
• Lien entre signe de la dérivée et variations
• Recherche des extremums locaux
• Tableau de variations complet
• Problèmes d'optimisation
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation et étude de fonctions