Dérivée de la composée f(ax+b)

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (f(ax + b))' = a\,f'(ax + b) : ne jamais oublier le facteur a. • ((ax + b)^n)' = na(ax + b)^n-1 et (ax + b)' = a2ax + b pour ax + b > 0. • (1/ax + b)' = -a/(ax + b)^2 pour ax + b 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J, et soit la fonction g définie par g(x) = f(ax + b) où a et b sont des réels, définie pour x tel que (ax+b) J. Alors g est dérivable et sa dérivée est donnée par : g'(x) = a f'(ax + b) **Cas particuliers fréquents** : - ((ax+b)^n)' = a n(ax+b)^n-1 - (ax+b)' = a2ax+b (pour ax+b > 0) - (e^ax+b)' = a e^ax+b ### 2. Méthode 1. Écrire la fonction sous la forme f(ax + b) : identifier la fonction de référence f et les nombres a et b. 2. Dériver f, puis remplacer sa variable par ax + b. 3. Multiplier par a, sans oublier son signe. ### 3. Exemple rapide g(x) = (1 - 2x)^3 : f(u) = u^3 et a = -2, donc g'(x) = -2 3(1 - 2x)^2 = -6(1 - 2x)^2. Vérification en x = 0 avec le développement g(x) = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 : g'(x) = -6 + 24x - 24x^2, donc g'(0) = -6 = -6 1^2. Oublier le facteur a aurait donné 3 au lieu de -6 : faute de signe et de valeur.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et taux de variation de Seconde
• Sens de variation et lecture graphique d'une courbe de Seconde
• Équation réduite d'une droite et coefficient directeur de Seconde
• Taux de variation d'une fonction
• Nombre dérivé en un point
• Interprétation géométrique et pente de la sécante
• Équation de la tangente
• Lecture graphique du nombre dérivé
• Approximation affine locale
• Dérivée des fonctions de référence
• Dérivée d'une somme et produit par un réel
• Dérivée d'un produit uv
• Dérivée d'un quotient u sur v
• Dérivée de la composée f(ax+b)
• Lien entre signe de la dérivée et variations
• Recherche des extremums locaux
• Tableau de variations complet
• Problèmes d'optimisation
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation et étude de fonctions