Équation de la tangente

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Tangente en A(a ; f(a)) : y = f'(a)(x - a) + f(a). • Son coefficient directeur est f'(a) et elle passe par le point de contact A. • Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale : y = f(a).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f une fonction dérivable en a. La **tangente** à la courbe C_f au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A de coefficient directeur f'(a). Son équation réduite est donnée par : y = f'(a)(x - a) + f(a) Cette formule fondamentale permet de déterminer l'équation de la droite tangente en n'importe quel point où la fonction est dérivable. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé 𝓒_f a f(a) Tangente T : pente = f'(a) Nombre dérivé = coefficient directeur de la tangente ### 3. Méthode en trois calculs 1. Calculer l'ordonnée du point de contact f(a). 2. Calculer f'(x) puis le nombre dérivé f'(a). 3. Remplacer dans y = f'(a)(x - a) + f(a), puis développer pour obtenir la forme réduite y = mx + p. Mini-exemple : pour f(x) = x^2 en a = -3, f(-3) = 9 et f'(x) = 2x donc f'(-3) = -6, d'où y = -6(x + 3) + 9 = -6x - 9. ### 4. Cas particuliers Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale, d'équation y = f(a). Si f n'est pas dérivable en a, la formule ne s'applique pas. Pour savoir si une droite y = mx + p est tangente à la courbe, on cherche d'abord les réels a tels que f'(a) = m, puis on vérifie que f(a) = ma + p.

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