Dérivée d'un produit uv

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (uv)' = u'v + uv' pour u et v dérivables sur I. • (uv)' u'v' : avec u = v = x, on obtient 2x, et non 1. • Si k est constant, la formule redonne (ku)' = ku', car k' = 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. La fonction produit u v est dérivable sur I et sa dérivée est donnée par la formule fondamentale : (#2563ebu #d97706v)' = #2563ebu'#d97706v + #2563ebu#d97706v' Pour dériver un produit : 1. Identifier les deux fonctions u(x) et v(x). 2. Calculer séparément leurs dérivées u'(x) et v'(x). 3. Appliquer la formule u'v + uv' et développer/simplifier le résultat. ### 2. Pourquoi ce n'est pas u'v' Pour u(x) = x et v(x) = x, le produit vaut x^2, de dérivée 2x. La formule donne u'v + uv' = 1 x + x 1 = 2x : c'est juste. Le produit u'v' = 1 1 = 1 est faux. ### 3. Exemple rapide et choix de la méthode f(x) = x^2x sur ]0 ; +[ : u = x^2, u' = 2x, v = x, v' = 12x, donc f'(x) = 2xx + x^22x = 2xx + xx2 = 5/2xx. Quand u et v sont des polynômes, on peut aussi développer puis dériver terme à terme. La formule du produit est indispensable dès qu'un facteur n'est pas un polynôme (racine carrée, inverse), ou quand on veut garder une dérivée factorisée pour étudier son signe.

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