Interprétation géométrique et pente de la sécante

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Pente de la sécante (AM) : f(a + h) - f(a)/h, le taux de variation de f entre a et a + h. • Quand h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente en A(a ; f(a)). • f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en A.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient A(a ; f(a)) et M(a+h ; f(a+h)) deux points de la courbe C_f. - Le taux de variation f(a+h) - f(a)/h est le **coefficient directeur de la droite sécante (AM)**. - Lorsque h se rapproche de 0, le point M se rapproche du point A le long de la courbe. - La droite sécante (AM) pivote et tend vers une position limite : la **tangente** à la courbe C_f au point A. Le nombre dérivé f'(a) est le **coefficient directeur (ou pente)** de la tangente à la courbe en A(a ; f(a)). ### 2. Méthode : de la sécante à la tangente 1. Calculer la pente de la sécante (AM) : f(a + h) - f(a)/h. 2. Faire tendre h vers 0, par valeurs positives comme négatives : les sécantes se rapprochent de la tangente. 3. La limite des pentes est f'(a), coefficient directeur de la tangente en A. ### 3. Exemple rapide Pour f(x) = x^2 et A(1 ; 1) : la sécante vers M(1 + h ; (1 + h)^2) a pour pente (1 + h)^2 - 1/h = 2 + h. Avec h = 1 : pente 3 ; avec h = 0,1 : pente 2,1 ; avec h = -0,1 : pente 1,9. Ces pentes se rapprochent de 2 : la tangente en A a pour coefficient directeur f'(1) = 2. Lecture du signe : si f'(a) > 0, la tangente monte de gauche à droite ; si f'(a) < 0, elle descend ; si f'(a) = 0, elle est horizontale.

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