Dérivée d'une somme et produit par un réel

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (u + v)' = u' + v' : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées. • (ku)' = k u' pour tout réel k : le coefficient constant se conserve. • (u + c)' = u' : une constante ajoutée disparaît. • Pour un polynôme, terme à terme : (a x^n)' = n a x^n-1.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel constant. - **Somme** : La fonction u + v est dérivable sur I et : (u + v)' = u' + v' - **Produit par une constante** : La fonction k u est dérivable sur I et : (k u)' = k u' - **Combinaison linéaire** : ( u + v)' = u' + v' ### 2. Méthode : dériver terme à terme 1. Écrire chaque terme sous la forme « nombre × fonction de référence » : x^2/2 = 1/2x^2, 5/x = 5 1/x, -x = -1 x. 2. Dériver chaque fonction de référence, puis multiplier par son coefficient. 3. Une constante ajoutée disparaît : (u + c)' = u'. ### 3. Exemple rapide et limite de ces règles f(x) = 4x^3 - x^2/2 + 3x - 7 sur ]0 ; +[ : f'(x) = 12x^2 - x + 32x. Ces règles ne concernent que la somme et le produit par un **nombre**. Pour un produit de deux fonctions, comme x^2x, il faut la formule de dérivation d'un produit.

Dans ce chapitre