Tableau de variations complet

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Ligne des x : bornes, valeurs interdites (double barre) et zéros de f', dans l'ordre croissant. • Ligne de f'(x) : signe sur chaque intervalle, avec 0 sous chaque zéro de f'. • Ligne de f(x) : flèche montante sous +, descendante sous -, avec les images exactes aux extrémités des flèches.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un **tableau de variations** complet d'une fonction f synthétise l'ensemble de son comportement sur son ensemble de définition D_f : 1. **Ligne 1 (x)** : Bornes de l'ensemble de définition, valeurs interdites (avec double barre ||) et valeurs où f'(x) = 0. 2. **Ligne 2 (f'(x))** : Signe de la dérivée (+, -, 0) sur chaque intervalle. 3. **Ligne 3 (f(x))** : Flèches montantes (croissance) et descendantes (décroissance), avec les images des extremums et des bornes calculées avec exactitude. ### 2. Méthode de construction 1. Déterminer l'ensemble de définition et les valeurs interdites. 2. Calculer f'(x), la factoriser et résoudre f'(x) = 0. 3. Placer dans la ligne des x, dans l'ordre croissant, les bornes, les valeurs interdites et les zéros de f'. 4. Remplir la ligne de f'(x) par un tableau de signes, puis tracer les flèches. 5. Calculer exactement les images aux extrémités des flèches (bornes réelles et extremums) ; aux bornes infinies, on ne note pas de valeur. ### 3. Exemple rapide f(x) = x^2 - 4x + 1 sur [0 ; 5] : f'(x) = 2x - 4 s'annule en 2. Ligne des x : 0, 2, 5 ; signe de f' : - puis + ; flèche descendante de f(0) = 1 à f(2) = -3, puis flèche montante jusqu'à f(5) = 6. On lit alors directement que, sur [0 ; 5], le minimum de f vaut -3 (atteint en 2) et le maximum vaut 6 (atteint en 5).

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et taux de variation de Seconde
• Sens de variation et lecture graphique d'une courbe de Seconde
• Équation réduite d'une droite et coefficient directeur de Seconde
• Taux de variation d'une fonction
• Nombre dérivé en un point
• Interprétation géométrique et pente de la sécante
• Équation de la tangente
• Lecture graphique du nombre dérivé
• Approximation affine locale
• Dérivée des fonctions de référence
• Dérivée d'une somme et produit par un réel
• Dérivée d'un produit uv
• Dérivée d'un quotient u sur v
• Dérivée de la composée f(ax+b)
• Lien entre signe de la dérivée et variations
• Recherche des extremums locaux
• Tableau de variations complet
• Problèmes d'optimisation
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation et étude de fonctions