Le développement simple par distributivité

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb. • Si le facteur k est négatif, tous les termes dans la parenthèse changent de signe : -3(2x - 5) = -6x + 15. • x x = x^2 et x c = cx.

Le cours

📐 Image géométrique : L'aire du rectangle découpé L'aire d'un grand rectangle de hauteur k et de base (a + b) est égale à la somme des aires de deux petits rectangles : l'un d'aire k a, l'autre d'aire k b. D'où la formule fondamentale : k(a+b) = ka + kb ! Étape 1 • Identifier le facteur extérieur et les termes intérieurs Repérer le facteur multiplicateur devant la parenthèse avec son signe exact. Étape 2 • Distribuer les produits Multiplier le facteur extérieur par le 1er terme, puis par le 2nd terme en appliquant strictement la règle des signes. Étape 3 • Réduire l'expression obtenue Regrouper les termes semblables pour obtenir une écriture simplifiée et ordonnée. Définition et propriété Développer un produit, c'est l'écrire sous forme d'une somme (ou d'une différence) de termes. Pour tous nombres k, a, b : k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka - kb La propriété reste vraie avec trois termes dans la parenthèse : k(a + b + c) = ka + kb + kc. Mini-exemple -2x(3x - 4) = (-2x) 3x + (-2x) (-4) = -6x^2 + 8x Contrôle pour x = 1 : -2 (3 - 4) = 2 et -6 + 8 = 2. Attention Le facteur se distribue à tous les termes : 5(x + 2) = 5x + 10, et non 5x + 2. Pour x = 1 : 5 3 = 15, alors que 5 + 2 = 7.

Dans ce chapitre

• Développements, distributivité et identités remarquables
• Factorisations et facteur commun
• Équations du premier degré et équation produit nul
• Les priorités opératoires et la gestion des signes
• La réduction d'expressions littérales simples
• Le développement simple par distributivité
• Le développement double (Double Distributivité)
• Identités remarquables : développement
• La factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Identités remarquables : factorisation
• Les équations de base du premier degré (ax + b = c)
• Les équations linéaires du type ax + b = cx + d
• Les équations nécessitant un développement préalable
• Résolution d'équations de la forme x² = a
• L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0
• Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation
• Les équations rationnelles simples et quotient nul
• Résolution d'inéquations du premier degré
• Signe d'une expression affine ax + b
• Tableaux de signes et inéquations composées
• Bilan 1 : Synthèse et méthode sur le choix de la bonne technique de calcul
• Bilan 2 : Synthèse et méthode sur les automatismes de calcul littéral
• Bilan 3 : Synthèse et méthode sur Calcul littéral, équations et inéquations