Identités remarquables : factorisation

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Différence de deux carrés : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ; on écrit d'abord chaque terme comme un carré : 49x^2 = (7x)^2 et 64 = 8^2. • Carrés parfaits : a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 et a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. • Si A et B sont des expressions : A^2 - B^2 = [A - B][A + B], avec des crochets pour changer tous les signes de B dans le premier facteur.

Le cours

🔍 Diagnostic : Reconnaître le squelette de l'identité Lorsqu'aucun facteur commun n'est visible dans une expression de degré 2, observez le nombre de termes : 2 termes séparés par un moins suggèrent a^2 - b^2, tandis que 3 termes suggèrent un carré parfait (a b)^2 ! Structure 1 : a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 Structure 2 : a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 Structure 3 (La plus fréquente au lycée) : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Méthode de reconnaissance 1. Chercher d'abord un facteur commun. 2. Deux termes carrés séparés par un signe « - » : A^2 - B^2 = (A - B)(A + B). Exemple : 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1). 3. Trois termes dont deux carrés positifs a^2 et b^2 : vérifier que le troisième vaut 2ab ou -2ab. Exemple : x^2 + 10x + 25, avec a = x, b = 5 et 2ab = 10x, donc x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2. Attention x^2 + 9 n'est pas une identité remarquable : (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 et (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9. De même, x^2 + 6x + 4 n'est pas un carré parfait : 4 = 2^2, mais 2 x 2 = 4x 6x.

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