L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• A(x) B(x) = 0 A(x) = 0 ou B(x) = 0. • La condition impérative est que le membre de droite soit égal à ZÉRO. • Si l'égalité n'est pas à zéro, il est totalement interdit de séparer les facteurs !

Le cours

🔑 Décomposition : Deux portes d'entrée pour un même objectif Si la multiplication de deux nombres donne zéro, l'un des deux au moins est obligatoirement nul (essayez de multiplier deux nombres non nuls : vous n'obtiendrez JAMAIS zéro !). L'équation se scinde donc en deux équations du premier degré indépendantes. Étape 1 • Citer le théorème clé Écrire textuellement : « Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul ». Étape 2 • Poser la disjonction Écrire l'alternative : A(x) = 0 ou B(x) = 0. Étape 3 • Résoudre et rassembler Résoudre chaque équation linéaire et consigner l'ensemble des solutions : S = \x_1 ; x_2\. Propriété Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. « Si et seulement si » signifie deux choses : si un facteur est nul, le produit est nul ; réciproquement, si le produit est nul, l'un des facteurs l'est, et c'est ce sens que l'on utilise pour résoudre. Mini-exemple (x + 6)(5 - 2x) = 0 x + 6 = 0 ou 5 - 2x = 0 x = -6 ou x = 5/2. Donc S = \-6 ; 5/2\. Attention : parfois une seule solution Un produit de deux facteurs du premier degré a au plus deux solutions, mais parfois une seule : (x - 3)^2 = 0 x - 3 = 0, donc S = \3\ (on n'écrit pas deux fois 3).

Dans ce chapitre

• Développements, distributivité et identités remarquables
• Factorisations et facteur commun
• Équations du premier degré et équation produit nul
• Les priorités opératoires et la gestion des signes
• La réduction d'expressions littérales simples
• Le développement simple par distributivité
• Le développement double (Double Distributivité)
• Identités remarquables : développement
• La factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Identités remarquables : factorisation
• Les équations de base du premier degré (ax + b = c)
• Les équations linéaires du type ax + b = cx + d
• Les équations nécessitant un développement préalable
• Résolution d'équations de la forme x² = a
• L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0
• Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation
• Les équations rationnelles simples et quotient nul
• Résolution d'inéquations du premier degré
• Signe d'une expression affine ax + b
• Tableaux de signes et inéquations composées
• Bilan 1 : Synthèse et méthode sur le choix de la bonne technique de calcul
• Bilan 2 : Synthèse et méthode sur les automatismes de calcul littéral
• Bilan 3 : Synthèse et méthode sur Calcul littéral, équations et inéquations