Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Dès qu'il reste des termes en x^2 (ou de degré plus élevé) après réduction : tout passer dans un membre pour obtenir = 0, puis factoriser (sauf la forme x^2 = a, qui se résout directement). • Ne jamais simplifier par x des deux côtés (par exemple dans x^2 = 3x), sous peine d'éliminer la solution x = 0 !

Le cours

🎯 L'algorithme des champions : Tout à gauche = 0, puis Factoriser En classe de Seconde, on ne dispose pas encore de formule générale pour résoudre les équations du second degré avec x^2. La seule issue victorieuse est de TOUT transposer à gauche pour obtenir = 0, puis de factoriser pour retrouver un Produit Nul ! Étape 1 • Transposer tous les termes à gauche Obtenir impérativement la forme P(x) = 0. Étape 2 • Factoriser le membre de gauche Chercher un facteur commun évident ou utiliser une identité remarquable (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)). Étape 3 • Résoudre l'équation produit nul obtenue Chaque facteur fournit une solution élémentaire. Pourquoi factoriser ? En Seconde, on sait résoudre une équation du premier degré et une équation produit nul. Une équation comme x^2 = 6x n'est ni l'une ni l'autre. En l'écrivant x^2 - 6x = 0, puis x(x - 6) = 0, on la ramène à deux équations du premier degré : x = 0 ou x = 6. Les trois factorisations à essayer 1. Un facteur commun : x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2). 2. Une différence de deux carrés : x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7). 3. Un carré parfait : x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2. Attention Diviser les deux membres par x fait perdre une solution : de x^2 = 6x, on tirerait seulement x = 6, alors que x = 0 convient aussi (0^2 = 6 0).

Dans ce chapitre

• Développements, distributivité et identités remarquables
• Factorisations et facteur commun
• Équations du premier degré et équation produit nul
• Les priorités opératoires et la gestion des signes
• La réduction d'expressions littérales simples
• Le développement simple par distributivité
• Le développement double (Double Distributivité)
• Identités remarquables : développement
• La factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Identités remarquables : factorisation
• Les équations de base du premier degré (ax + b = c)
• Les équations linéaires du type ax + b = cx + d
• Les équations nécessitant un développement préalable
• Résolution d'équations de la forme x² = a
• L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0
• Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation
• Les équations rationnelles simples et quotient nul
• Résolution d'inéquations du premier degré
• Signe d'une expression affine ax + b
• Tableaux de signes et inéquations composées
• Bilan 1 : Synthèse et méthode sur le choix de la bonne technique de calcul
• Bilan 2 : Synthèse et méthode sur les automatismes de calcul littéral
• Bilan 3 : Synthèse et méthode sur Calcul littéral, équations et inéquations