Équations du premier degré et équation produit nul

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Pour ax + b = 0 (a 0), l'unique solution est x = -b/a. • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. • Ne jamais diviser une équation par l'inconnue x sous peine de perdre la solution x = 0 !

Le cours

⚖️ Image mentale : La balance de Roberval Une équation est une balance en parfait équilibre. Pour conserver cet équilibre, toute action effectuée sur le plateau de gauche (additionner, soustraire, multiplier, diviser) doit impérativement être reproduite sur le plateau de droite ! Théorème Fondamental du Produit Nul Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul : A(x) B(x) = 0 A(x) = 0 ou B(x) = 0 Équation du premier degré : les deux règles Une équation d'inconnue x est une égalité qui n'est vraie que pour certaines valeurs de x : ce sont ses solutions. On obtient une équation équivalente (mêmes solutions) : • en ajoutant ou en soustrayant un même nombre aux deux membres ; • en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre non nul. ax + b = 0 x = -b/a (a 0) Méthode et mini-exemple 1. Regrouper les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre. 2. Diviser par le coefficient de x (non nul). 3. Vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée. Exemple : 7 - 2x = 13 -2x = 6 x = -3. Contrôle : 7 - 2 (-3) = 7 + 6 = 13. Attention : un produit égal à zéro, pas à un autre nombre Le théorème du produit nul ne s'applique que si l'un des membres est 0. Pour x(x - 4) = 12, écrire « x = 12 ou x - 4 = 12 » est faux : x = 12 donne 12 8 = 96 12. Il faut d'abord tout passer dans un même membre.

Dans ce chapitre

• Développements, distributivité et identités remarquables
• Factorisations et facteur commun
• Équations du premier degré et équation produit nul
• Les priorités opératoires et la gestion des signes
• La réduction d'expressions littérales simples
• Le développement simple par distributivité
• Le développement double (Double Distributivité)
• Identités remarquables : développement
• La factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Identités remarquables : factorisation
• Les équations de base du premier degré (ax + b = c)
• Les équations linéaires du type ax + b = cx + d
• Les équations nécessitant un développement préalable
• Résolution d'équations de la forme x² = a
• L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0
• Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation
• Les équations rationnelles simples et quotient nul
• Résolution d'inéquations du premier degré
• Signe d'une expression affine ax + b
• Tableaux de signes et inéquations composées
• Bilan 1 : Synthèse et méthode sur le choix de la bonne technique de calcul
• Bilan 2 : Synthèse et méthode sur les automatismes de calcul littéral
• Bilan 3 : Synthèse et méthode sur Calcul littéral, équations et inéquations