Identités remarquables : développement

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Le carré d'un binôme produit TOUJOURS 3 termes : les deux carrés extrêmes (a^2 et b^2) et le double produit central (2ab). • (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 n'a PAS de terme central : les doubles produits s'annulent.

Le cours

⚡ Raccourcis de calcul : Les autoroutes de l'algèbre Les identités remarquables sont des raccourcis universels démontrés une bonne fois pour toutes. Elles permettent d'obtenir le résultat d'un carré ou d'un produit conjugué instantanément en une seule ligne, sans passer par les 4 flèches de la double distributivité ! 1. Carré d'une somme : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 2. Carré d'une différence : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 3. Produit de la somme par la différence : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 D'où viennent ces formules ? Ce sont des cas particuliers de la double distributivité : (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 Pour (a + b)(a - b), les produits croisés -ab et +ab s'annulent : il reste a^2 - b^2. Méthode et mini-exemples 1. Reconnaître la forme et écrire qui sont a et b, avec leurs coefficients (a = 3x, et non x). 2. Remplacer dans la formule en gardant les parenthèses : (3x)^2 = 9x^2. 3. Calculer chaque terme, puis réduire. Exemples : (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36 ; et en calcul mental, 51^2 = (50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = 2\,601. Attention (a + b)^2 a^2 + b^2 : avec a = 3 et b = 4, (3 + 4)^2 = 49 alors que 3^2 + 4^2 = 25. L'écart 24 est exactement le double produit 2 3 4.

Dans ce chapitre

• Développements, distributivité et identités remarquables
• Factorisations et facteur commun
• Équations du premier degré et équation produit nul
• Les priorités opératoires et la gestion des signes
• La réduction d'expressions littérales simples
• Le développement simple par distributivité
• Le développement double (Double Distributivité)
• Identités remarquables : développement
• La factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Identités remarquables : factorisation
• Les équations de base du premier degré (ax + b = c)
• Les équations linéaires du type ax + b = cx + d
• Les équations nécessitant un développement préalable
• Résolution d'équations de la forme x² = a
• L'Équation Produit Nul de la forme A(x) × B(x) = 0
• Équations de degré supérieur ramenées au produit nul par factorisation
• Les équations rationnelles simples et quotient nul
• Résolution d'inéquations du premier degré
• Signe d'une expression affine ax + b
• Tableaux de signes et inéquations composées
• Bilan 1 : Synthèse et méthode sur le choix de la bonne technique de calcul
• Bilan 2 : Synthèse et méthode sur les automatismes de calcul littéral
• Bilan 3 : Synthèse et méthode sur Calcul littéral, équations et inéquations