Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• 3 étapes obligatoires : Initialisation, Hérédité, Conclusion. • Phrase obligatoire : « Soit k n_0 un entier fixé. Supposons P(k) vraie... » • Ne jamais supposer la propriété vraie pour tout n au sein de l'hérédité.

Le cours

Cadre théorique officiel de Terminale Spécialité Le raisonnement par récurrence repose sur un axiome fondamental de l'ensemble des entiers naturels N : pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n n_0, il suffit de vérifier qu'elle est vraie au rang initial n_0 et que sa véracité se transmet de proche en proche d'un entier quelconque k à son successeur k+1. Le Protocole Officiel en 3 Étapes Indissociables 1. Initialisation On vérifie rigoureusement que la propriété est vraie pour le premier rang n_0 : P(n_0) est vraie. 2. Hérédité On fixe un entier k n_0. On suppose que P(k) est vraie (Hypothèse de Récurrence). On démontre qu'alors P(k+1) est vraie. 3. Conclusion On conclut : « Par le principe de récurrence, pour tout entier n n_0, P(n) est vraie. » Rang n₀ (Vrai) Rang k (Supposé) Rang k+1 (Prouvé) ... Transmission : Hérédité

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence