Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Une fonction f croissante conserve le sens des inégalités : a b f(a) f(b). • Une fonction décroissante inverse le sens : a b f(a) f(b). • Inégalité de Bernoulli : (1 + a)^n 1 + na pour tout a > -1 et n N.

Le cours

Conservation de l'ordre et majoration Pour démontrer par récurrence qu'une suite vérifie u_n M ou a u_n b, le cœur de l'hérédité consiste à appliquer une fonction f vérifiant la relation u_n+1 = f(u_n). Si la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle contenant les termes de la suite, elle conserve l'ordre des inégalités. Méthode 1 : Par la croissance de f u_k M f(u_k) f(M) Si de plus f(M) M, alors u_k+1 M. Méthode 2 : Par étude de différence Calculer M - u_k+1 et factoriser l'expression pour prouver qu'elle est positive en utilisant l'hypothèse de récurrence. y = f(x) uₖ M f(uₖ) f(M) f croissante : uₖ ≤ M ⇒ f(uₖ) ≤ f(M)

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