Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Propriété pour la croissance : P(n) : u_n+1 u_n. • Pour l'initialisation, calculer OBLIGATOIREMENT u_0 et u_1 pour vérifier u_1 u_0. • Hérédité : appliquer la croissance de f à l'inégalité u_k u_k+1.
Le cours
Monotonie des suites récurrentes Pour une suite récurrente u_n+1 = f(u_n), l'étude directe de u_n+1 - u_n est souvent impossible sans formule explicite. Le raisonnement par récurrence permet d'établir la monotonie en posant la proposition : P(n) : u_n+1 u_n (croissance) ou P(n) : u_n+1 u_n (décroissance) Le Mécanisme d'Hérédité Si f est croissante sur un intervalle contenant tous les termes de la suite : u_k u_k+1 f(u_k) f(u_k+1) u_k+1 u_k+2 La propriété passe ainsi du rang k au rang k+1 en appliquant simplement la fonction f. Axe réel ℝ u₀ u₁ Init : u₀ ≤ u₁ ··· uₖ uₖ₊₁ uₖ₊₂ Hypothèse : uₖ ≤ uₖ₊₁ f croissante ⇒ f(uₖ) ≤ f(uₖ₊₁) d'où uₖ₊₁ ≤ uₖ₊₂
Dans ce chapitre
- Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
- Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
- Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
- Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
- Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
- Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
- Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
- Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
- Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
- Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
- Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
- Théorèmes de comparaison vers l'infini
- Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
- Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
- Théorème de convergence monotone
- Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
- Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
- Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
- Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence