Limite des suites géométriques q^n et suites de référence

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• q > 1 q^n = +. • -1 < q < 1 |q| < 1 q^n = 0. • q -1 aucune limite.

Le cours

Théorème Fondamental des Suites Géométriques Soit q un réel quelconque. Le comportement à l'infini de la suite (q^n) dépend strictement de la valeur de la raison q : • Si q > 1 : _n + q^n = + (divergence vers +). • Si q = 1 : suite constante stationnaire 1^n = 1. • Si -1 • Si q -1 : la suite (q^n) n'a pas de limite (divergence par oscillation). 1 (bleu) --> q > 1 (→ +∞) q = 1 (cste) |q| < 1 (→ 0) q ≤ -1 (pas de limite) Suites a q^n et suites de référence • Pour u_n = a q^n avec a 0, la limite est celle de q^n multipliée par a : par exemple -3 2^n - et 7 0,4^n 0. • On combine souvent q^n avec les suites de référence : 1/n, 1/n^2, 1n tendent vers 0 ; n, n^2, n tendent vers +. Ainsi 0,5^n + 1/n 0 et 2^n + n + par somme. Méthode : terme prépondérant Devant une somme ou une différence de puissances (forme « - »), on factorise par la puissance de plus grande base : 4^n - 3^n = 4^n(1 - (3/4)^n) Comme (3/4)^n 0, la parenthèse tend vers 1 et 4^n +, donc 4^n - 3^n +. Attention Ne pas confondre q^n (exposant variable) et n^p (exposant fixe) : 0,5^n 0 alors que n^0,5 = n +. Une raison négative de valeur absolue inférieure à 1 donne bien une limite : (-0,9)^n 0 en changeant de signe à chaque rang, tandis que (-1,2)^n n'a pas de limite.

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