Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence

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À retenir

• Découpage fondamental : S_k+1 = S_k + f(k+1). • Carrés : _k=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)/6. • Toujours rechercher un facteur commun (k+1) au lieu de tout développer.

Le cours

Technique de découpage de somme Pour démontrer une formule sommatoire du type _i=1^n f(i) = S(n) par récurrence, le pivot de l'hérédité repose sur la scission du dernier terme au rang k+1 : _i=1^k+1 f(i) = ( _i=1^k f(i) ) + f(k+1) = S(k) + f(k+1) On utilise ensuite la factorisation algébrique pour faire émerger l'expression S(k+1). Somme des n premiers carrés _k=1^n k^2 = 1^2 + 2^2 + + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 Somme des puissances (q 1) _k=0^n q^k = 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q Escalier sommatoire : Sₖ₊₁ = Sₖ + (k + 1) 1 2 3 ··· k Somme Sₖ (Hypothèse) + (k + 1) Rang k+1 Hérédité sommatoire Sₖ₊₁ = Sₖ + (k + 1) = k(k + 1) / 2 + (k + 1) = (k + 1) [ k/2 + 1 ] Sₖ₊₁ = (k + 1)(k + 2) / 2 ✓ Hérédité validée au rang k+1

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