Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Suite arithmético-géométrique : u_n+1 = a u_n + b. • Point fixe : = b/1-a. • La suite auxiliaire v_n = u_n - est GÉOMÉTRIQUE de raison a. • Si |a| < 1, _n + u_n = .

Le cours

Structure et résolution des suites arithmético-géométriques Une suite arithmético-géométrique vérifie la relation de récurrence u_n+1 = a u_n + b (a, b R, a 0 et a 1). Pour déterminer l'expression explicite de u_n en fonction de n, on utilise une suite auxiliaire géométrique (v_n) centrée sur le point fixe . α = b / (1 - a) uₙ v₁ = a × v₀ 0 vₙ = uₙ - α (Géométrique) Algèbre de la méthode canonique 1. Calcul de la valeur fixe : On résout = a + b = b/1-a. 2. Définition de la suite auxiliaire : On pose v_n = u_n - . 3. Démonstration : On calcule v_n+1 = u_n+1 - = (au_n + b) - (a + b) = a(u_n - ) = a v_n. (v_n) est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme v_0 = u_0 - . 4. Formule explicite : v_n = v_0 a^n, d'où pour tout n N : u_n = v_0 a^n + 5. Limite : Si |a| < 1, alors _n + a^n = 0, ce qui implique immédiatement _n + u_n = .

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence