Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Si u_n+1 = f(u_n), avec f continue et (u_n) convergente vers , alors f() = . • Pour tracer la suite graphiquement : on monte verticalement sur la courbe y=f(x), puis on rejoint horizontalement la droite y=x. • Si f est croissante, la suite (u_n) est monotone (le signe de u_1 - u_0 dicte tout).

Le cours

Suites définies par une fonction itérée et point fixe Soit une suite définie par la donnée de son premier terme u_0 et par la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n), où f est une fonction définie sur un intervalle stable I (f(I) I). Théorème du point fixe : Si la fonction f est continue sur I et si la suite (u_n) converge vers un réel I, alors est solution de l'équation : f() = x y y = x y = f(x) L = f(L) u₀ u₁ Conservation du sens de variation par récurrence Si la fonction associée f est croissante sur un intervalle stable I contenant tous les termes, la suite (u_n) est monotone : • Si u_0 u_1, alors par récurrence immédiate, (u_n) est croissante sur N. • Si u_0 u_1, alors (u_n) est décroissante sur N.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence