Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Schéma Bac type : Récurrence (variations ou bornes) Convergence monotone (existence de ) Suite auxiliaire géométrique ou équation du point fixe f(L) = L (valeur de ). • L'algorithme Python de seuil utilise `while u < seuil:` pour un dépassement vers le haut.

Le cours

Synthèse méthodologique du chapitre au Baccalauréat Au Baccalauréat, les problèmes complets de suites articulent systématiquement quatre grandes compétences transversales : 1. Le raisonnement par récurrence (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence clairement posée, conclusion). 2. L'étude qualitative (sens de variation, suites majorées, minorées, bornées). 3. La convergence (théorème de convergence monotone, théorème des gendarmes ou comparaison vers l'infini). 4. L'explicitation et la limite (suite auxiliaire géométrique ou point fixe f(L) = L). Suite (uₙ) Quelle limite ? Formule explicite uₙ = f(n) Opérations, F.I., Gendarmes Limite directe ℓ ou ±∞ uₙ₊₁ = a uₙ + b Suite auxiliaire vₙ = uₙ - α ℓ = α (si |a| < 1) uₙ₊₁ = f(uₙ) Convergence monotone Point fixe f(L) = L Protocole récurrent canonique 1. Hypothèse P(n) : Poser précisément la propriété à démontrer. 2. Initialisation : Vérifier P(n_0) au premier rang. 3. Hérédité : Soit k n_0 fixé, supposer P(k) vraie et démontrer que P(k+1) est vraie. 4. Conclusion : Conclure pour tout n n_0. Boîte à outils des limites • Monotone + Bornée : Croissante + majorée converge. • Gendarmes : Encadrement par deux suites convergeant vers la même limite . • Comparaison infinie : u_n v_n + u_n +. • Géométrique : q^n 0 si |q| 1.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence