Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Les 4 seules formes indéterminées sont : + - , 0 , / et 0/0. • Un quotient « /0 » avec 0 donne + ou - (règle des signes, si le dénominateur garde un signe constant) ; « / » donne 0. Ce ne sont PAS des formes indéterminées.

Le cours

Règles opératoires et formes indéterminées Les théorèmes généraux sur la somme, le produit et le quotient de suites permettent de déterminer la limite de la majorité des expressions. Toutefois, quatre situations algébriques ne permettent pas de conclure immédiatement : ce sont les quatre formes indéterminées (F.I.). Les 4 Formes Indéterminées et leurs méthodes de levée "∞ - ∞" Somme Factoriser le terme dominant ou quantité conj. "0 × ∞" Produit Développer ou croissances comparées "∞ / ∞" Quotient Factoriser puissance max au num. et dénom. "0 / 0" Quotient Simplifier par le facteur nul ou taux d'accroiss. Méthode systématique pour les polynômes et fractions rationnelles • Pour lever une indétermination « + - » dans un polynôme, on met en facteur le terme de plus haut degré : 3n^2 - 5n + 1 = n^2 (3 - 5/n + 1/n^2) Comme 5/n = 0 et 1/n^2 = 0, la parenthèse tend vers 3, donc la suite tend vers +. • Pour un quotient de polynômes, on met en facteur la plus grande puissance au numérateur et au dénominateur avant de simplifier.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence