Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes

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À retenir

• Théorème des gendarmes : v_n u_n w_n avec v_n = w_n = u_n = . • Deux suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, écart tendant vers 0) convergent vers la même limite.

Le cours

Théorème d'encadrement (dit des Gendarmes) Soient (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites numériques et R. Si à partir d'un certain rang n_0 : v_n u_n w_n et _n + v_n = _n + w_n = Alors la suite (u_n) converge obligatoirement et _n + u_n = . ℓ wₙ (Gendarme supérieur) → ℓ vₙ (Gendarme inférieur) → ℓ uₙ encadrée → ℓ Condition impérative de convergence Il est indispensable que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite finie . Si v_n 2 et w_n 3, la suite (u_n) reste bornée entre 2 et 3 mais peut osciller sans jamais converger (ex: u_n = 2,5 + 0,4(-1)^n). Complément : suites adjacentes Deux suites (a_n) et (b_n) sont dites adjacentes si : 1. L'une est croissante et l'autre est décroissante. 2. Pour tout n, a_n b_n. 3. _n + (b_n - a_n) = 0. Théorème : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Cette notion n'est plus au programme officiel de Terminale : elle se démontre avec le théorème de convergence monotone ((a_n) croissante majorée par b_0, (b_n) décroissante minorée par a_0).

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence