Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Différence universelle : u_n+1 - u_n 0 (u_n) est croissante. • Quotient (u_n > 0) : u_n+1u_n 1 (u_n) est croissante. • Fonction associée : Si u_n = f(n) et f croissante sur [0;+[, alors (u_n) est croissante.
Le cours
Méthodes fondamentales d'étude de monotonie Une suite (u_n) est dite croissante si pour tout n N, u_n+1 u_n. Elle est dite décroissante si pour tout n N, u_n+1 u_n. Pour déterminer sa monotonie, on dispose de trois méthodes canoniques. 1. Signe de la différence u_n+1 - u_n (Méthode Universelle) Si u_n+1 - u_n 0 pour tout n, (u_n) est croissante. Si u_n+1 - u_n 0, (u_n) est décroissante. 2. Quotient u_n+1u_n comparé à 1 (u_n > 0) Applicable strictement si tous les termes u_n sont strictement positifs. Si u_n+1u_n 1, (u_n) est croissante. 3. Fonction associée u_n = f(n) Si la suite est explicite u_n = f(n), le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +[ donne directement celui de (u_n). Attention : cette méthode ne s'applique jamais directement aux suites récurrentes u_n+1 = f(u_n). Croissante : uₙ₊₁ - uₙ ≥ 0 Δu ≥ 0 Décroissante : vₙ₊₁ - vₙ ≤ 0 Δv ≤ 0
Dans ce chapitre
- Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
- Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
- Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
- Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
- Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
- Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
- Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
- Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
- Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
- Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
- Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
- Théorèmes de comparaison vers l'infini
- Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
- Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
- Théorème de convergence monotone
- Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
- Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
- Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
- Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence