Théorème de convergence monotone

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Suite croissante + majorée converge vers M. • Suite décroissante + minorée converge vers m. • Le théorème prouve l'existence de la limite, mais pas sa valeur explicite.

Le cours

Théorème de convergence monotone (T.C.M.) Ce théorème fondamental de l'analyse réelle établit l'existence d'une limite sans exiger de connaître sa valeur explicite : • Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie M (où M est un majorant). • Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie m (où m est un minorant). • Divergence vers l'infini : Si une suite est croissante et non majorée, alors _n + u_n = +. Majorant M Limite ℓ ≤ M uₙ croissante (marches positives) uₙ croissante + majorée ⇒ ∃ ℓ Nuance méthodologique majeure au Baccalauréat Le théorème de convergence monotone garantit l'existence d'un nombre réel , mais il ne donne pas sa valeur ! La valeur exacte de doit obligatoirement être déterminée par une autre technique : 1. Par une relation de point fixe si u_n+1 = f(u_n) avec f continue (f() = ). 2. En exprimant u_n en fonction de n à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence