Théorèmes de comparaison vers l'infini
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Pour prouver qu'une suite diverge vers +, il suffit de trouver une suite MINORANTE qui diverge vers + (u_n v_n +). • Pour prouver qu'une suite diverge vers -, il suffit de trouver une suite MAJORANTE qui diverge vers - (u_n w_n -).
Le cours
Théorème de comparaison (Effet de poussée) Soient (u_n) et (v_n) deux suites numériques définies pour tout entier n n_0 : • Divergence vers + : Si u_n v_n à partir d'un certain rang et si _n + v_n = +, alors _n + u_n = +. • Divergence vers - : Si u_n v_n à partir d'un certain rang et si _n + v_n = -, alors _n + u_n = -. n y vₙ → +∞ uₙ ≥ vₙ → +∞ Effet de poussée : uₙ → +∞ Application classique aux suites trigonométriques Pour une suite du type u_n = n^2 + (n), la fonction trigonométrique n'a pas de limite en +, mais elle est bornée : (n) -1. Par conséquent, u_n n^2 - 1. Comme _n + (n^2 - 1) = +, le théorème de comparaison garantit immédiatement que _n + u_n = +.
Dans ce chapitre
- Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
- Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
- Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
- Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
- Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
- Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
- Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
- Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
- Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
- Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
- Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
- Théorèmes de comparaison vers l'infini
- Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
- Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
- Théorème de convergence monotone
- Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
- Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
- Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
- Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence