Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Arithmétique : u_n = u_0 + nr. Somme : 1 + 2 + + n = n(n+1)/2. • Géométrique : u_n = u_0 q^n. Somme : 1 + q + + q^n = 1 - q^n+11 - q (q 1). • Nombre de termes de p à n inclus : n - p + 1.

Le cours

Prérequis indispensables de Première Spécialité Une suite (u_n)_n N est une fonction définie sur N. Le programme de Première introduit les deux progressions fondamentales : arithmétique (progression par addition constante r) et géométrique (progression par multiplication constante q). Suites Arithmétiques • Récurrence : u_n+1 = u_n + r (r R). • Formule explicite : u_n = u_0 + nr ou u_n = u_p + (n-p)r. • Somme des n premiers entiers : 1 + 2 + + n = n(n+1)/2 • Somme générale : S = Nb de termes Premier + Dernier2. Suites Géométriques • Récurrence : u_n+1 = q u_n (q R). • Formule explicite : u_n = u_0 q^n ou u_n = u_p q^n-p. • Somme des puissances (q 1) : 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q • Somme générale : S = Premier terme 1 - q^Nb de termes1 - q. Suite Arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r • Progression par pas constant (+r) + r (+3) + r (+3) + r (+3) + r (+3) u₀ 2 u₁ 5 u₂ 8 u₃ 11 u₄ 14 ··· Suite Géométrique : vₙ₊₁ = q × vₙ • Progression par facteur constant (×q) × q (×2) × q (×2) × q (×2) v₀ 1 v₁ 2 v₂ 4 v₃ 8 ···

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
• Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
• Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
• Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
• Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
• Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
• Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
• Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
• Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
• Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
• Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
• Théorèmes de comparaison vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
• Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
• Théorème de convergence monotone
• Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
• Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence