Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Suite majorée : M R, n, u_n M. • Suite minorée : m R, n, u_n m. • Toute suite convergente est bornée (la réciproque est fausse !).
Le cours
Définitions rigoureuses des bornes Soit (u_n)_n N une suite réelle : • Majorée : Il existe un réel M tel que pour tout n N, u_n M. (M est un majorant). • Minorée : Il existe un réel m tel que pour tout n N, u_n m. (m est un minorant). • Bornée : La suite est à la fois majorée et minorée : il existe m, M R tels que pour tout n N, m u_n M (ou de façon équivalente : il existe un réel K tel que pour tout n, |u_n| K). Couloir de confinement [m , M] y = M Majorant y = m Minorant Propriété fondamentale de convergence • Toute suite convergente est bornée. En effet, si u_n , à partir d'un certain rang tous les termes sont confinés dans un intervalle ] - 1, + 1[, et le nombre fini de termes initiaux est nécessairement borné. • Réciproque fausse : Une suite bornée n'est pas forcément convergente (contre-exemple : u_n = (-1)^n, bornée par -1 et 1 mais n'admet aucune limite).
Dans ce chapitre
- Suites arithmétiques, géométriques et sommes de Première
- Sens de variation d'une suite et étude du signe de u_n+1 - u_n
- Principe et protocole de rédaction du raisonnement par récurrence
- Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première
- Démontrer des égalités et formules sommatoires par récurrence
- Démontrer des inégalités et encadrements par récurrence
- Démontrer le sens de variation d'une suite par récurrence
- Limite finie d'une suite et définition formelle de la convergence
- Limite infinie d'une suite et divergence vers ±∞
- Limite des suites géométriques q^n et suites de référence
- Opérations sur les limites et les 4 formes indéterminées
- Théorèmes de comparaison vers l'infini
- Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) et suites adjacentes
- Suites majorées, minorées et bornées : définitions et propriétés
- Théorème de convergence monotone
- Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b et suite auxiliaire
- Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) et équation du point fixe
- Algorithmique et programmation Python : Recherche de seuil et processus discrets
- Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques, limites et raisonnement par récurrence