Majorations, minorations et encadrements algébriques de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Règles de conservation : Si a b et c > 0, alors ac bc. • Règle d'inversion : Si a b et c 0. • Somme membre à membre : Si a b et c d, alors a + c b + d. Attention : la soustraction membre à membre est STRICTEMENT INTERDITE.

Le cours

1. Opérations qui conservent ou inversent l'ordre Ces règles de Seconde et de Première sont le socle des hérédités par récurrence et des théorèmes de comparaison de Terminale. Soient des réels a, b, c, d avec a b. • Ajouter un même réel conserve l'ordre : a + c b + c. • Multiplier par c > 0 conserve l'ordre : ac bc. • Multiplier par c inverse l'ordre : ac bc. • Additionner membre à membre : si de plus c d, alors a + c b + d. • Multiplier membre à membre est permis seulement entre nombres positifs : si 0 a b et 0 c d, alors ac bd. 2. Appliquer une fonction de référence Appliquer une fonction croissante sur un intervalle conserve l'ordre ; appliquer une fonction décroissante l'inverse. • Inverse (décroissante sur ]0\,;\,+[) : si 0 • Carré (croissante sur [0\,;\,+[) : si 0 a b, alors a^2 b^2. • Racine carrée (croissante sur [0\,;\,+[) : si 0 a b, alors a b. Mini-exemple : si 1 x 4, alors 1 x 2 et 1/4 1/x 1. 3. Méthode : encadrer une expression 1. Décomposer l'expression en opérations successives à partir de la variable. 2. Appliquer chaque opération aux trois membres, en vérifiant à chaque fois le signe du facteur ou le sens de variation de la fonction. 3. Pour une différence A - B : encadrer -B, puis additionner avec l'encadrement de A. 4. Pour un quotient A/B de nombres positifs : encadrer 1/B, puis multiplier membre à membre avec l'encadrement de A. Mini-exemple : si 2 x 3, alors 4 x^2 9 (carré croissant sur les positifs), donc 5 x^2 + 1 10. 4. Attention On ne soustrait pas et on ne divise pas deux inégalités membre à membre. On n'élève pas non plus au carré un encadrement qui contient des nombres négatifs : si -3 x 2, on n'a pas 9 x^2 4 ; on raisonne par cas et on obtient 0 x^2 9.

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