Génération par formule explicite u_n = f(n)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Formule explicite : u_n = f(n), le terme se calcule directement à partir de son rang n. • Pour calculer u_k, on remplace n par k entre parenthèses : aucun terme précédent n'est nécessaire. • u_n+1 s'obtient en remplaçant n par (n + 1) ; ce n'est pas u_n + 1.

Le cours

Une formule explicite permet de calculer directement n'importe quel terme u_n à partir de son numéro n, exactement comme on calcule l'image f(x) d'une fonction. 1. Principe : calcul direct en une étape Si la suite (u_n) est définie par u_n = 4n - 3, on remplace simplement la lettre n par l'indice choisi : Terme recherché Remplacement de l'indice n Résultat du calcul Pour n = 0 (u_0) 4 0 - 3 -3 Pour n = 1 (u_1) 4 1 - 3 1 Pour n = 100 (u_100) 4 100 - 3 397 Énorme avantage : On peut calculer u_100 en 2 secondes, sans avoir besoin de connaître u_1, u_2, ..., u_99. 2. Méthode pour calculer un terme 1. Repérer le rang k du terme demandé (pour u_7, k = 7). 2. Remplacer n par k entre parenthèses dans la formule. 3. Calculer en respectant les priorités opératoires. Exemple : pour v_n = n + 3/n + 1, on obtient v_0 = 3/1 = 3 et v_5 = 8/6 = 4/3. 3. Attention • Vérifie le rang de départ : si w_n = 12/n pour n 1, le terme w_0 n'existe pas (division par 0). • u_n+1 s'obtient en remplaçant n par (n + 1) : avec u_n = 4n - 3, on a u_n+1 = 4(n + 1) - 3 = 4n + 1, alors que u_n + 1 = 4n - 2.

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