Modélisation technologique : choisir entre modèle arithmétique et géométrique

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Même quantité ajoutée ou retirée à chaque période : modèle arithmétique, u_n = u_0 + nr. • Même pourcentage d'évolution à chaque période : modèle géométrique de raison q = CM, u_n = u_0 q^n. • Sur des données : écarts constants, modèle arithmétique ; quotients constants, modèle géométrique.

Le cours

Face à un problème concret (exercice de contrôle, situation de gestion ou de production), la première compétence demandée est de choisir le bon modèle. Tableau comparatif d'aide à la décision Indice dans l'énoncé Modèle à choisir Raison Formule explicite du terme u_n « On ajoute / retire une quantité fixe » (ex : +50 pièces, -3 kg) Modèle Arithmétique #2563ebr = quantité u_n = u_0 + n#2563ebr « On augmente / diminue d'un pourcentage ou coefficient » (ex : +4\%, moitié) Modèle Géométrique #7c3aedq = CM u_n = u_0 #7c3aedq^n Méthode : tester des données chiffrées 1. Calculer les écarts successifs u_1 - u_0, u_2 - u_1… S'ils sont égaux : modèle arithmétique. 2. Sinon, calculer les quotients u_1/u_0, u_2/u_1… S'ils sont égaux : modèle géométrique. Exemple : 1200, 1260, 1323 : écarts 60 puis 63 (non constants) ; quotients 1260/1200 = 1,05 et 1323/1260 = 1,05 : modèle géométrique, hausse de 5\ \% par période. Attention aux pourcentages « fixes » Si le pourcentage s'applique toujours à la valeur de départ (intérêts simples : 3\ \% de 1000 €, soit 30 € chaque année), on ajoute la même quantité : le modèle est arithmétique. Le modèle est géométrique seulement si le pourcentage s'applique à la valeur de l'étape précédente. À long terme, une suite géométrique de raison q > 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution et coefficient multiplicateur
• Évolutions successives et calculs de puissances
• Notion de fonction, variable discrète n et tableaux de valeurs de Seconde
• Qu'est-ce qu'une suite numérique et comment la noter ?
• Génération par formule explicite u_n = f(n)
• Génération par relation de récurrence u_n+1 = f(u_n)
• Représentation graphique d'une suite : le nuage de points
• Suites arithmétiques : définition et relation de récurrence
• Suites arithmétiques : formule explicite du terme général
• Suites arithmétiques : sens de variation et alignement graphique
• Suites arithmétiques : somme de termes consécutifs
• Suites géométriques : définition et lien avec les pourcentages
• Suites géométriques : formule explicite du terme général
• Suites géométriques : sens de variation et comportement
• Suites géométriques : somme des puissances et somme de termes
• Modélisation technologique : choisir entre modèle arithmétique et géométrique
• Recherche de seuil au tableur et à la calculatrice
• Recherche de seuil avec un algorithme Python (boucle While)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques & Modélisations discrètes