Suites arithmétiques : somme de termes consécutifs

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• S = nombre de termes premier terme + dernier terme2. • Nombre de termes = dernier indice - premier indice + 1. • Cas particulier : 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2.

Le cours

Calculer la somme de plusieurs termes consécutifs d'une suite arithmétique (u_n) se fait grâce à une formule simple attribuée à Gauss. 1. La formule générale en français S = Nombre de termes Premier terme + Dernier terme2 2. Comment compter le nombre de termes sans se tromper ? Nombre de termes = (Dernier indice - Premier indice) + 1 • De u_0 à u_10 : il y a (10 - 0) + 1 = 11 termes. • De u_1 à u_50 : il y a (50 - 1) + 1 = 50 termes. • Somme des entiers de 1 à n : 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2 3. Méthode en trois étapes 1. Calculer le premier et le dernier terme de la somme. 2. Compter les termes : dernier indice - premier indice + 1. 3. Appliquer la formule. Exemple : pour u_n = 5 + 3n, la somme u_0 + u_1 + + u_9 a pour dernier terme u_9 = 32 et compte 10 termes, donc S = 10 5 + 32/2 = 185. 4. Pourquoi ça marche, et le piège En associant le premier et le dernier terme, puis le deuxième et l'avant-dernier, etc., chaque paire a la même somme : 1 + 100 = 2 + 99 = = 101. La somme vaut donc le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. Ne multiplie pas par l'indice du dernier terme : de u_0 à u_9, il y a 10 termes, pas 9.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution et coefficient multiplicateur
• Évolutions successives et calculs de puissances
• Notion de fonction, variable discrète n et tableaux de valeurs de Seconde
• Qu'est-ce qu'une suite numérique et comment la noter ?
• Génération par formule explicite u_n = f(n)
• Génération par relation de récurrence u_n+1 = f(u_n)
• Représentation graphique d'une suite : le nuage de points
• Suites arithmétiques : définition et relation de récurrence
• Suites arithmétiques : formule explicite du terme général
• Suites arithmétiques : sens de variation et alignement graphique
• Suites arithmétiques : somme de termes consécutifs
• Suites géométriques : définition et lien avec les pourcentages
• Suites géométriques : formule explicite du terme général
• Suites géométriques : sens de variation et comportement
• Suites géométriques : somme des puissances et somme de termes
• Modélisation technologique : choisir entre modèle arithmétique et géométrique
• Recherche de seuil au tableur et à la calculatrice
• Recherche de seuil avec un algorithme Python (boucle While)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques & Modélisations discrètes