Génération par relation de récurrence u_n+1 = f(u_n)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Relation de récurrence : u_n+1 = f(u_n), chaque terme se calcule à partir du précédent. • Il faut obligatoirement connaître le premier terme (u_0 ou u_1). • Pour obtenir u_10, il faut calculer tous les termes de u_1 à u_9 (à la main, au tableur ou à la calculatrice).

Le cours

Une relation de récurrence calcule chaque terme à partir du terme précédent. C'est le principe du « saut d'une marche à la suivante » ou de « l'effet domino ». 1. Exemple concret : les niveaux d'un jeu Vous commencez au niveau 0 avec 100 points (u_0 = 100). À chaque niveau suivant, votre score double puis on ajoute 50 points : u_n+1 = 2u_n + 50 Étape Calcul utilisant le terme précédent Valeur obtenue Départ (u_0) Donné au départ 100 Étape 1 (u_1) 2 u_0 + 50 = 2 100 + 50 250 Étape 2 (u_2) 2 u_1 + 50 = 2 250 + 50 550 Étape 3 (u_3) 2 u_2 + 50 = 2 550 + 50 1\ 150 2. La condition indispensable : le premier terme Sans terme de départ (comme u_0), la récurrence ne peut pas démarrer. C'est l'étincelle qui lance toute la chaîne de calculs.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution et coefficient multiplicateur
• Évolutions successives et calculs de puissances
• Notion de fonction, variable discrète n et tableaux de valeurs de Seconde
• Qu'est-ce qu'une suite numérique et comment la noter ?
• Génération par formule explicite u_n = f(n)
• Génération par relation de récurrence u_n+1 = f(u_n)
• Représentation graphique d'une suite : le nuage de points
• Suites arithmétiques : définition et relation de récurrence
• Suites arithmétiques : formule explicite du terme général
• Suites arithmétiques : sens de variation et alignement graphique
• Suites arithmétiques : somme de termes consécutifs
• Suites géométriques : définition et lien avec les pourcentages
• Suites géométriques : formule explicite du terme général
• Suites géométriques : sens de variation et comportement
• Suites géométriques : somme des puissances et somme de termes
• Modélisation technologique : choisir entre modèle arithmétique et géométrique
• Recherche de seuil au tableur et à la calculatrice
• Recherche de seuil avec un algorithme Python (boucle While)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques & Modélisations discrètes