Suites géométriques : somme des puissances et somme de termes

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Pour q 1 : 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q. • Somme de N termes consécutifs : S = premier terme 1 - q^N/1 - q. • De u_0 à u_n : N = n + 1 termes ; de u_1 à u_n : N = n termes.

Le cours

Calculer le total cumulé d'une grandeur qui grandit ou diminue en pourcentage (ex : total d'énergie produite, total d'épargne) nécessite la formule de la somme géométrique. 1. Formule de la somme des puissances (q 1) 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q 2. Formule générale pour toute suite géométrique (u_n) S = Premier terme 1 - q^Nombre de termes1 - q Exemple : Pour u_0 = 100, q = 2, calculer S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 (5 termes) : S = 100 1 - 2^5/1 - 2 = 100 1 - 32/-1 = 100 31 = 3\ 100 3. Méthode en trois étapes 1. Repérer le premier terme de la somme et la raison q. 2. Compter les termes : N = dernier indice - premier indice + 1 (de u_1 à u_10, N = 10). 3. Appliquer S = premier terme 1 - q^N/1 - q. Exemple : 200 + 100 + 50 + 25 (premier terme 200, q = 0,5, N = 4) : S = 200 1 - 0,5^41 - 0,5 = 200 0,93750,5 = 375. 4. Attention La formule exige q 1. Si q = 1, tous les termes sont égaux et S = N premier terme. L'exposant du numérateur est le nombre de termes, pas l'indice du dernier terme.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution et coefficient multiplicateur
• Évolutions successives et calculs de puissances
• Notion de fonction, variable discrète n et tableaux de valeurs de Seconde
• Qu'est-ce qu'une suite numérique et comment la noter ?
• Génération par formule explicite u_n = f(n)
• Génération par relation de récurrence u_n+1 = f(u_n)
• Représentation graphique d'une suite : le nuage de points
• Suites arithmétiques : définition et relation de récurrence
• Suites arithmétiques : formule explicite du terme général
• Suites arithmétiques : sens de variation et alignement graphique
• Suites arithmétiques : somme de termes consécutifs
• Suites géométriques : définition et lien avec les pourcentages
• Suites géométriques : formule explicite du terme général
• Suites géométriques : sens de variation et comportement
• Suites géométriques : somme des puissances et somme de termes
• Modélisation technologique : choisir entre modèle arithmétique et géométrique
• Recherche de seuil au tableur et à la calculatrice
• Recherche de seuil avec un algorithme Python (boucle While)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques & Modélisations discrètes