Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• (e^u)' = u' e^u. • (u^n)' = n u' u^n-1. • (u)' = u'2u (pour u > 0).

Le cours

Dérivation de formes composées canoniques Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les formules usuelles de composition sont : (e^u)' = u' e^u, (u^n)' = n u' u^n-1 (n Z^*,\ u(x) 0 si n 0) La règle du facteur u' L'erreur la plus fréquente consiste à oublier le facteur u'(x). Pour dériver e^3x^2, la dérivée n'est pas e^3x^2, mais (3x^2)' e^3x^2 = 6x e^3x^2. Domaine de dérivabilité de u La fonction u est dérivable uniquement là où u(x) > 0 strictement. Aux points où u(x) = 0, la dérivée admet souvent une limite infinie (tangente verticale).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et opérations (uv)', (u/v)' de Première
• Nombre dérivé, équation de tangente et lien signe de f'(x) et variations
• Dérivée d'une fonction composée du type u, u^n et e^u
• Position relative de deux courbes et étude de signe de f(x) - g(x) de Première
• Dérivée d'une fonction composée générale f(g(x))
• Dérivée seconde f''(x) : définition et calcul pratique
• Convexité et concavité : définitions géométriques par les cordes et les sécantes
• Caractérisation de la convexité par les tangentes : position relative
• Caractérisation de la convexité par le sens de variation de f'
• Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde f''
• Points d'inflexion : définition géométrique et tangentes traversantes
• Détection des points d'inflexion par l'annulation et changement de signe de f''
• Inégalités de convexité usuelles (e^x x + 1) et applications
• Établir des inégalités à l'aide de l'étude des variations d'une fonction auxiliaire
• Étude complète d'une fonction : ensemble de définition et continuité
• Recherche des asymptotes et branches infinies d'une fonction
• Tableau de variations complet et extremums locaux et globaux
• Problèmes d'optimisation économique et géométrique par la dérivation
• Résolution approchée d'équations f(x) = k couplée dérivation et TVI
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation, convexité et étude de fonctions